基于题解的训练策略
我们应当认为，中高考与算法竞赛不是智力游戏，它们同时还考察着训练策略、心态调节等能力。
本文参考资料：一个金牌选手的信竞攻略_哔哩哔哩_bilibili，How to practice Competitive Programming [Um_nik version] - Codeforces，liangdl 的学习经历。
糟糕的训练策略
在介绍 “基于题解的训练策略” 之前，让我们先看一下糟糕的训练策略是什么：
首先，L 从不知道哪个地方拿来一道题目。假设是一道数学几何难题好了。
然后，绞劲脑汁想了一个小时，凭感觉这试一下那试一下，辅助线画下来擦了又擦，题目都擦糊了，还是没有想出解法。
最后，无奈之下选择请教帮哥。看到帮哥设了五个未知数，过程写得和英语作文一样，L 从头读到尾，勉强理解，过程一抄就过掉了这道题。
L 疲惫地靠在椅背上，想着在这流逝的一个半小时里，自己竭尽全力还是无法战胜一道数学压轴题。L 感到无比的挫败与沮丧，又想到自己好像什么也没学到，不自觉地陷入自我怀疑。于是，L 开摆了。
以上内容是 liangdl 的真实经历（艺术加工版）。
我们来分析一下这样训练的问题：
没有选择好的训练资源。随机选取的题目要么简单、要么奇怪、要么困难，找到一道好题的概率很小，不要把自己宝贵的精力浪费在这种题上面。
思考没有目的性，没有设定好思考时限。这个方面的内容涉及到解题思维，我在文章最后附了我的 OI ＆ 数学题的解题思维，大伙可以参照一下。
没有选择合适的题解。若一道初中数学几何题需要设 2 个以上的未知数时，这篇题解可以断定没有学习价值，我敢说一定存在更优雅的简单解法。
预期与心态的问题。应该带着“我大概会解不出来的”的预期去写题，否则挫败感几乎是无法避免的，不应该让自己陷进去。
基于题解的训练策略
于是，基于存在的这些问题，liangdl 优化出了一套新的训练策略——基于题解的训练策略！
你想，一道题目，如果你能写出来，那么它在你写之前就已经在你的能力范围之内了（当然不否认简单题目对于思维的强化作用）。只有你需要看题解的题目，才能让你的能力有所提升。
当面对一个新学科的时候，如果没有题解帮助你实现从 0到1 的跨越/积累，刷再多的题也没用。
具体怎么操作呢？
Part 1：筛选题目
拿到一道题目，要判断它值不值得训练，首先看它的来源。好的来源有：老师推荐、历年真题与广受好评的教辅。 这里推荐一个网站：菁优网。可以在这里找到各地区的历年真题。
若没有渠道从这些来源获得题目，或者你觉得好的题源里未必每一道题都值得训练，你就需要看题解了。（这点在语文阅读理解训练里尤其重要，你可以找到好的题目，但是要找到好的答案很难，如果题目的答案不好，那么训练价值也是很少的，可以换一道题目了）
当然，你并不需要把解答从头到尾看得明明白白，那样还有啥训练效果。我的意思是，看看答案大致上是不是条理清晰、简洁就好了。例如，数学题设 5 个未知数、阅读理解的答案写的极其随性简短，没有明确评分标准、OI 题解里全都是“感性理解”“显然”“易得”，这样的题解就可以避雷了。
Part 2：思考题目
首先知道一个事实：你能解出来的题目难度并不等价于你的能力。成功解题是有概率的，这个概率根据你的能力水平会浮动。所以，不要抱着“这题写不出来我就是菜”的心态来写题，而是要抱着“如果我写出来了，我巩固了我的思维；如果我没写出来，我扩展了我的能力”。总之，我只要写题就是赢！
其次，限时。一道题目（当然要看你刷的是什么题，我这里以数学压轴和 OI 题为例），如果你是试了20-30分钟才试出来的，那么其实你还是没有掌握。我个人倾向于认真思考5-10分钟未果就去看题解，不然会带来很大的挫败感。
Part 3：看题解 & 总结复盘
选择一篇好的题解，然后理解它。理解的标准是：能够用简洁的一句话表达出题目的核心。
然后把自己的卡点记录下来，将题解是如何面对卡点的方法，归纳进你的解题思维里。
以上就是“基于题解的训练策略”的全部基础版内容了，掌握这个训练策略并加以坚持，我相信你可以拉爆很多人了（不要拉爆我啊）。最后扩展一点，这个训练策略的三个部分是可以 “多线并行” 的，这就带给了我们极大的自由度，在 OI 这种动辄几个小时的训练中有极大的便利。具体来说，你可以在状态不好的时候筛选题目，状态极佳的时候思考题目 or 看题解，这样就保证了自己不会浪费时间，最大化利用了时间。
附录
OI 的解题思维
理解
- 形式化题面。
- 标出数据范围。
思考
- 先判断能否对应问题类型，再标出奇怪的地方，再使用思考技巧。
- 先广搜，得到几个大致的思考方向，写下来。用数据范围排除掉一些算法。
- 然后选一个深搜。如果想了 10 分钟还是没有进展，就换一个方向。如果所有方向都没有进展，看题解。
- 形式化思考结果
常见 问题类型 的思考方向
- 操作题：思考操作顺序、操作影响、操作影响如何映射到其他东西上等。
- 二维网格：枚举上下边界、按行 DP、格点 DP。
- 博弈题：先找出 必胜 or 必败 的状态。（找全）
然后证明，如果状态不属于 必胜 or 必败 态（反向刻画），就必然属于相反的状态。 - 计数题：考虑不同主体、唯一代表元的贡献。
- 最优化：二分答案、DP、贪心
- 区间计数/最优区间：枚举端点，另一端考虑双指针、二分
- 构造题：考虑无解
一些常见的 思考技巧（适用范围广，强度适中）
- 正难则反
- 考虑单个元素贡献，考虑哪些元素无贡献。无贡献的元素要立刻剥离：2025 CSPST2、最短路公共路径
- 分类讨论（分治）
- 从简化的问题入手
- 关注不变量
- 排序
- 研究操作 前提/影响
- 猜证结论
- 能离线的要离线
- 放入二维平面
- 跳出动态过程（什么样的状态下），研究静态结构（存在什么）：双栈序列
一些常见 trick（适用范围小，但强）
图论
- 虚点，超级源点，超级汇点
- 有向图考虑 DAG 解法，缩点。
- 偏序关系考虑差分约束
- 点的状态很少考虑分层图
- 染色：找出主体的不同状态，用边表示状态的异同。
- 连通性：并查集、搜索树。
贪心
- 临项交换
DP
- 状态设计成 恰好 形式的
- 状态设计一定不要有冗余
- 决策集合具有单调增减性，可以优化。
- 数位DP，用mask表示0~9中哪些数出现过
- 不知道从何下手时，先大胆设出来再优化
- 考虑转移时，从新增的元素上下手。
- 小区间变到大区间——>区间DP。
线段树
维护区间信息时考虑线段树。
- 考虑节点与节点、节点与标签、标签与标签之间的合并。
- 考虑节点与节点的合并时，分类讨论至少两种情况，答案落在左/右区间，答案跨越左右区间。
- 遇到难维护的操作，直接暴力再考虑优化/剪枝。区间每个数取模/开方，最多进行 log 次。
代码
- 写出算法流程
- 列出关键变量、数组、函数的定义
- 注意边界条件，dp 考虑边界
调试
- 检查需不需要开 long long
- 有没有 模0 或 除0
- pop 之前有没有判空
- 数组下标有没有 越界/负数，大小有没有开对
- 逐一检查每一个变量，数组，是否正确维护。
- 初始值
- 中间值
- 边界值
复盘
- 记录卡住的地方（思考、代码或调试）
- 补充笔记，记录学到了什么，下次要避免什么。
数学的解题思维
解题步骤
- 标数据，识别题目类型。
- 根据几何关系，列出思考方向。
- 根据常见套路，列出思考方向。
- 关注一些宏观的东西
- 关注对称性
- 将图形转化为已知模型的图形
- 先把可能用上的思考方向列出来，越多越好，再选择一个思考方向深度思考，思考 5 分钟没有进展，就换一个思考方向。
题目类型带来的思考方向
- 求线段长：勾股、和差、旋转、等面积
- 求比例：分别求两条线段长、找相似
- 求角度：内角和、等腰对等角、八字
- 求面积：公式、铅锤高、割补、平行线转换、等分点转换、容斥
- 求最小值：将军饮马、垂线段、找轨迹、全等转化线段、费马点、平移定点、旋转
- 求最大值：三角形三边关系（注意这个三角形不能有定角或者定三边，因为这样无法三点共线）、垂线段、找轨迹、旋转
（最值问题本质上是在把题目转化为一定一动）
几何关系带来的思考方向
- 中线：八字全等（倍长）、中位线、平分面积
- 角平分线：对称性、做垂直、角平分线定理
- 垂线：等面积、勾股
- 等腰：三线合一、腰上小高之和等于高
- 特殊角：延长、垂直、构等腰、拆分
- 直角三角形：斜边中线
- 翻折：对称性、勾股、中垂线、悬空直角、等腰、角平分线、连接对应点、翻折中点出直角
常见套路带来的思考方向
- 平行三剑客：翻折平行出等腰
- 旋转：有特殊三角形时
- 一线三：多个等角、特殊三角形、悬空直角
- 手拉手：特殊三角形
- 十字架：矩形 / 正方形
- 半角模型：旋转
- 射影定理导角
- 构造中位线：四边形上有双中点，取对角线中点构造中位线
- 一边一角构全等
- 两倍角三角形：内外构等腰
- 截长补短：两线段和等于另一线段
- 两倍角、九十度：绝配角构等腰
一些意识
- 存在大量的 等量 or 比例，大胆设未知数列方程。